Это имя собственное склоняется, форма винительного падежа: Жан-Клода Ван Дамма (см. «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко).

См. ответ на вопрос № 237360.

Правильно: ван Эйк.

Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.

Правильно с прописной, кроме последнего примера.

И. п. Жан; Р. п. и В. п. Жана; Д. п. Жану; Т. п. Жаном; П. п. (о) Жане.

СО РАН (отделение) обязано.

Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.

Служебный элемент ван обычно пишется со строчной буквы, написание Людвиг ван Бетховен соответствует правилу. Однако в некоторых личных именах компонент ван может быть написан с прописной буквы (такое орфографическое оформление часто соответствует написанию с прописной в языке-источнике и проверяется в словарном порядке): Ван Гог, Ван Дамм.